はじめに
CGや画像処理で必要になる座標変換について説明します。
座標変換は同次変換行列という形式で表すことで、
すべて行列の掛け算で行うことができます。
表記
座標Aから見た点pの座標がである時、
次のように表記します。
移動
座標Aから見た座標Bへの平行移動が}の時、
座標Bから見た点pを座標Aから見た点に変換する式は以下です。
- : 座標Bから座標Aへの平行移動の同次変換行列
回転
座標Aから見た座標Bへの回転がの時の変換は以下です。
- : 座標Bから座標Aへの回転の同次変換行列
- : X軸回転
- : Y軸回転
- : Z軸回転
スケール
座標Aから見た座標Bへのスケールがの時の変換は以下です。
- : 座標Bから座標Aへのスケールの同次変換行列
同次変換の連続
各座標間の同次変換行列が分かっている時、
行列の掛け算で変換できます。
- : 座標Cから座標Aへの同次変換行列
- : 座標Bから座標Aへの同次変換行列
- : 座標Cから座標Bへの同次変換行列
例
図のようにAからDまでの各座標間の同次変換行列が分かっている時の
変換は以下です。
逆変換
同次変換の逆変換は逆行列です。
基底変換
基底変換は座標BのXYZ軸を座標AのXYZ軸で表せる時の
回転とスケールの変換方法です。
座標Aから見た点pの座標がの時、座標AのXYZ(W)軸を
とし、
と表せます。この時XYZ軸を座標Aの基底と呼びます。
以下のように座標Aの基底を使って座標Bの基底を表せる時を考えます。
- : 座標Bの基底
座標Bから見た点pの座標がの時、
以下のように同次変換行列を求めることができます。
- : 座標Bから座標Aへの同次変換行列
参考
- https://www.mech.tohoku-gakuin.ac.jp/rde/contents/course/robotics/coordtrans.html
- https://mathlandscape.com/matrix-basis-transform/
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